Реконструкція системи Лоренца з використанням методу перспективних коефіцієнтів

  • V. G. Gorodetskiy
  • N. P. Osadchuk
Ключові слова: тимчасової ряд, диференціальні рівняння, реконструкція, оригінальна система, стандартна система, метод перспективних коефіцієнтів

Анотація

Реконструкція системи звичайних диференціальних рівнянь Лоренца здійснюється методом перспективних коефіцієнтів. Знайдено чотири системи, що мають структури, відмінні від системи Лоренца і здатні відтворювати часові ряди однієї змінної системи Лоренца. У багатьох галузях науки актуальною є проблема ідентифікації системи звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ) з часового ряду однієї спостережної змінної. Якщо правої частини системи ОДУ є поліномами, то вирішення такої задачі тільки чисельними методами дозволяє отримати модель, що містить, в більшості випадків, надлишкові терміни і не відображає фізику процесу. Попередній вибір структури системи дозволяє підвищити точність реконструкції. Оскільки в даному дослідженні розглядаються лише окремі часові ряди спостережуваної змінної, і не існує додаткових вимог до кандидатських систем, ми розглянемо тільки системи ОДУ, які мають найменше число термінів у рівняннях. Розглянемо системи кандидатів серед окремих випадків системи з квадратичною поліноміальною правою частиною. Для вирішення цієї проблеми скористаємося комбінацією аналітичних і чисельних методів, запропонованих у роботах [12, 11]. Ми називаємо оригінальну систему (ОС) системою ОДУ, яка точно описує динаміку досліджуваного процесу. Використовується також інший тип системно-стандартної системи ОДУ (СС), що має поліноміальну або раціональну функцію тільки в одному рівнянні. Кількість змінних ОС дорівнює кількості змінних SS. Спостережувана змінна СС збігається з спостережуваною змінною ОС. СС повинна відповідати ОС. А саме, всі коефіцієнти SS можуть бути аналітично виражені через коефіцієнти ОС. Крім того, існує чисельний метод [12], який дозволяє визначити коефіцієнти СС з часових рядів. Щоб знайти тільки найпростішу ОС, можна скористатися методом перспективних коефіцієнтів [10], що означає наступне. Спочатку SS реконструюється з часового ряду з використанням чисельного методу. Тоді, використовуючи аналітичні співвідношення і структуру СС, визначимо, які коефіцієнти ОС строго нульові і суворо ненульові і формують початкову систему (ІС), яка включає лише суворо ненульові коефіцієнти. Після цього ІС доповнюється коефіцієнтами ОС, поки відповідна СС не збігається з СС, отриманою числовим методом. Результатом буде одна або кілька ОС. Використовуючи цей підхід, ми знайшли 4 ОС структури з 7 коефіцієнтами, які відрізняються від системи Лоренца [17], але здатні точно відтворити часові ряди змінної X системи Лоренца. Числові значення частини коефіцієнтів і зв'язків, що зв'язують решту коефіцієнтів, були знайдені для кожної ОС

Переглядів анотації: 8
Завантажень PDF: 8
Опубліковано
2018-04-18